時系列分析II―ARMAモデル（自己回帰移動平均モデル）の評価と将来予測：ITエンジニアのためのデータサイエンティスト養成講座（10）（3/4 ページ）
次に残差についての自己相関（Autocorrelation）プロットと偏自己相関（Partial Autocorrelation）プロットをし、残差に時系列の相関性がないことを確認します（In [48]〜In [55]）。
In [46]: # 前のグラフを閉じる In [47]: plt.close() In [48]: # 残差の自己相関（Autocorrelation）プロット In [49]: fig = plt.figure(figsize=(12,8)) In [50]: ax1 = fig.add_subplot(211) In [51]: fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(resid.values.squeeze(), lags=20, ax=ax1) In [52]: # 残差の偏自己相関（Partial Autocorrelation）プロット In [53]: ax2 = fig.add_subplot(212) In [54]: fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(resid, lags=20, ax=ax2) In [55]: fig.show()
図4を見ると、自己相関（Autocorrelation）プロットと偏自己相関（Partial Autocorrelation）プロット双方の値が全て95％の信頼区間にあります。このことから、残差に時系列の相関性はないといえます。よって、このモデルは良好なモデルだと判断できます。
さらに残差は正規分布に従うという特徴がありますので、正規部分布のテストを行うと（In [59]）、p値は2.3193538282769351e-15（Out [59]）と、十分小さい値であり、正しく正規分布に従っていることが確認できます。
In [56]: # 前のグラフを閉じる In [57]: plt.close() In [58]: # 残差の正規分布をテスト In [59]: stats.normaltest(resid) Out[59]: (67.394975540642861, 2.3193538282769351e-15)
モデル検証の「ダメ押し」に、Ljung-Box検定もやっておきましょう。この検定の詳細はWikipediaの解説にゆだねますが、モデルが十分に偏りがないことを確認する検定の1種です。Pythonプログラムでは次のようにシンプルに実施できます。
ラグ値13までのラグに対してLjung-Box検定を行い（In [61]）自己相関（AC）、Q値、p値を表形式で表示します（In [62]〜In [64]）。p値に着目し、十分に大きいことから、残差は無作為であるということができます。
In [60]: # Ljung-Box検定
In [61]: r,q,p = sm.tsa.acf(resid.values.squeeze(), nlags=13, qstat=True)
In [62]: data = np.c_[range(1,14), r[1:], q, p]
In [63]: table = pd.DataFrame(data, columns=['lag', "AC", "Q", "Prob(>Q)"])
In [64]: print table.set_index('lag')
AC Q Prob(>Q)
lag
1 -0.084692 0.882429 0.347537
2 0.032644 1.014639 0.602107
3 0.036035 1.177118 0.758497
4 -0.024990 1.255933 0.868806
5 0.023351 1.325348 0.932302
6 -0.024581 1.402945 0.965679
7 0.018856 1.449008 0.984023
8 0.033126 1.592446 0.991064
9 0.011344 1.609418 0.996251
10 0.033756 1.761073 0.997865
11 0.092489 2.910017 0.991862
12 -0.175171 7.069513 0.852986
13 -0.024540 7.151912 0.894154
このようにいくつかの観点からARMA(13,0)モデルの妥当性を評価し、統計的に妥当なモデルであるということが証明できました。
コラム：Python環境を最新に
本連載では何度も紹介していますが、Python本体やいくつかのモジュールがアップデートされています。特にIPythonはメジャーバージョンアップがあり、パフォーマンスがかなり改善されていますし、他のモジュールでもパフォーマンスの改善があります。APIの変更があるものありますので、アップデートの際には注意が必要ですが、影響がなければアップデートをお勧めします。
Python本体 バージョン2.7.8がリリース
ダウンロードURL ： http://python.org/download/
ダウンロードした、python-2.7.8.msi を実行するとインストーラーが起動して、ウィザードに従ってインストール（アップデート）します。以前のバージョンが削除されるというメッセージがでてインストールされていたバージョンが削除され2.7.8がインストールされます。
pandas：Python Data Analysis Library 最新のバージョン0.14.1がリリース
easy_install コマンドを使ってアップデートします。APIの拡張や変更が行われていてより使いやすくなっています。変更点や新機能に関しては、こちらをご覧ください。
C:\>easy_install -U pandas
IPython 最新のバージョン2.1.0がリリース
easy_install コマンドを使ってアップデートします。2.0.0から多くのバグフィックスが適用されています。変更点についてはこちらをご覧ください。
C:\>easy_install -U ipython
その他のパッケージ
xlrdやpatsyもそれぞれ最新版がリリースされていますのでeasy_install コマンドを使ってアップデートしておきましょう。
C:\>easy_install -U xlrd C:\>easy_install -U patsy
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