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» 2020年05月14日 05時00分 公開

AI・機械学習の数学入門:[AI・機械学習の数学]微分法の基本を身につけて「変化」を見極めよう (3/3)

[羽山博,著]
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練習問題

 以下の関数を微分してみましょう。

(1) f(x) = 7x3xで微分する
(2) f(x) = 10xで微分する
(3) f(x) = 2x4+3x2+5xで微分する
(4) f(t) = t2−4t+4tで微分する

解答

(1) f'(x) = 21x2
(2) f'(x) = 0
(3) f'(x) = 8x3 + 6x
(4) f'(t) = 2t−4

 (1)は、指数が3なのでそれを係数に掛けて、7 × 3=21が導関数の係数になりますね。指数の方は1つ減らすと2です。よって、21x2となります。

 (2)は、ちょっとひっかけっぽいですが、定数項しかないので、0になります。f(x)の値は常に10なので、全く変化しませんね。だから変化率は0です。

 (3)は、手順通り各項を計算していけば求められます。

 (4)は変数としてtを使っただけです。やはり手順は同じです。

解説(続き):微分の定義と計算方法について

 微分の意味や定義も分かった、計算方法も分かった、めでたしめでたし……と言いたいところですが、「いや、ちょっと待ってくれ」と思った人はいないでしょうか。微分の定義は以下のようなものでした。

 そして、計算方法は以下のようなものでした。

のとき、

 これでは、定義と計算方法がどうつながっているのかが分かりませんね。意味もやり方も分かったから、なんだか分からない面倒な途中の話はいいや、と投げ出さずに、上の定義と下の計算方法がつながっている(=導き出せる)ことを確認してみましょう。ただし、厳密に証明するとかなり長くなるので、簡単な例で答えが合っていることだけを確かめるにとどめます。

 では、例として、f(x)=ax2を取りあげます。この導関数を微分の定義に当てはめて計算してみましょう。簡単な例とはいえ、式の変形が少し細かくなるので動画も用意しておきました。

動画3 導関数を求める(二次関数の例)


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