AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

羽山 博

機械学習の数学は難しい!? そう思っている人はこの連載から学んでみよう。サブタイトルは「― 中学/高校数学のキホンから学べる」。本連載では、小学校で習う「四則演算(足し算/引き算/掛け算/割り算)」を使って、機械学習の数学をできるだけ分かりやすく簡単に説明していく。

中学/高校数学のおさらい 〜 微分/線形代数につながる基礎

第1回 AI・機械学習のための数学超入門 ― 前提知識は四則演算だけ!

機械学習は、人間の日常とそう変わらない
機械学習で使われる数学は結局のところ四則演算だけ!
四則演算のルールをざっとおさらい
・目標
・解説
 - ルール1 同じ数を何回か足す計算は、掛け算で表せる
 - ルール2 同じ数を何回か掛ける計算は、べき乗で表せる
 - ルール3 計算には優先順位があり、かっこで囲んだ計算が優先される
・コラム 計算の順序を工夫すると暗算が簡単になる
・練習問題
解答例
距離を求める 〜 機械学習で使われる数学(1)
・直線上の距離を求める
・平面上の距離を求める
・動画1 「距離(=斜辺)の計算」を分かりやすく解説
・コラム 距離にはいろいろある
・練習問題
解答例
次回は……

第2回 文字式を使いこなせば一気にレベルアップ

目標【その1】: 文字式に慣れる
・解説:数の代わりに文字を使う
目標【その2】: 文字式の計算に便利な公式を利用する
・解説:文字式の計算
・動画1 分配法則の計算
・動画2 分配法則の証明
・動画3 式の展開
・練習問題
解答例
・動画4 「因数分解と式の展開」の練習問題
解説:添字の利用
各データとの距離の2乗の総和が最小になる値とは???
・動画5 距離の二乗和の最小値を求める
・問題:距離の二乗和の最小値を求める
・距離の二乗和を求める
・最小値を求めるために式を変形する(平方完成)
・動画6 二次式の最小値を求める(平方完成)
・平方完成した式のpについて解く(連立方程式)
・平方完成した式のqについて解く(連立方程式)
・ゴール:最小値を求める
・動画7 二次式から平方完成の式に変形する別の方法(上級者向け)
次回は……

第3回 総和を表すΣは機械学習に必須の記号

目標【その1】: 総和を求める
・解説:Σの意味と書き方をマスターする
・練習問題
解答例
目標【その2】: Σの公式を知る
・解説:いったん足し算に戻してみれば当たり前のこと!
・動画1 Σの公式が成り立つことの確認
応用:Σを使って平均値を求める式を導き出す
・動画2 距離の二乗和を最小にする「xバー」を求める(総和Σ活用編)
応用:重心を求める
・動画3 重心の座標を求める(三次元編)
次回は……

番外編1 「0」の取り扱い

ポイント1 「0」で割ってはいけない
ポイント2 何かを0乗すると1になる
ポイント3 「0」の階乗は1

微分/積分

第4回 微分法の基本を身につけて「変化」を見極めよう

目標【その1】: 平均変化率を理解する
・解説:平均変化率の意味と利用例を知る
・練習問題
目標【その2】: 平均変化率を文字式で表してみる
・解説:平均変化率を文字式で表してみる
目標【その3】: いよいよ微分のお話(導関数を理解する)
・解説:微分の考え方と書き方について
・動画1 接線の傾き
目標【その4】: 微分の計算方法(導関数の求め方)
・解説:微分の計算方法(導関数の求め方)
・動画2 微分の計算方法と計算例
・練習問題
解答
・解説(続き):微分の定義と計算方法について
・動画3 導関数を求める(二次関数の例)
次回は……

第5回 微分法を応用して、回帰分析の基本を理解する

目標【その1】: 微分の公式を整理しておく
・解説:微分の公式を整理しておく
・練習問題
目標【その2】: 回帰分析とは何かを知る
・解説:回帰分析とは何かを知る
目標【その3】: 最小二乗法による回帰分析の超簡単な例
・解説:最小二乗法による回帰分析の超簡単な例(具体的な例)
・動画1 最小二乗法による回帰分析(具体的な例)
・解説:最小二乗法による回帰分析の超簡単な例(一般的な例)
・動画2 最小二乗法による回帰分析(一般的な場合)
次回は……

第6回 偏微分の基本(意味と計算方法)を理解する

目標: 偏微分の意味と計算方法を理解する
・解説:偏微分の意味と計算方法を理解する
・動画1 2変数関数(グラフを回転させて見やすくしたアニメーション)
・練習問題
・動画2 偏微分に関する練習問題の解き方
次回は……

第7回 偏微分を応用して、重回帰分析の基本を理解する

目標: 偏微分を利用して重回帰分析を行う
・解説:偏微分を利用して重回帰分析を行う
・残差二乗和を求める
・動画1 残差平方和の算出
・次のページは……
残差二乗和を偏微分する
・動画2 残差平方和の微分
・連立方程式を解く
まとめと補足
・残差二乗和の偏微分(一般的な場合)
次回は……

第8回 合成関数の微分(連鎖律)とニューラルネットワーク初歩の初歩

目標【その1】: 合成関数を理解する
解説【その1】: 合成関数を理解する
・合成関数の例1
・合成関数の例2
・合成関数の例3
簡単なニューラルネットワークの例
・動画1 合成関数
目標【その2】: 合成関数の微分
解説【その2】: 合成関数の微分(連鎖律)
・合成関数の微分の例1
・動画2 合成関数の微分の例1
・合成関数の微分の例2(偏微分の場合)
・動画3 合成関数の微分の例2(偏微分の場合)
次回は……

線形代数

第9回 ベクトルの基本と類似度の計算

目標【その1】: ベクトルとは
解説【その1】: ベクトルとは
目標【その2】: ベクトルの定数倍と和の計算
解説【その2】: ベクトルの定数倍と和・差の計算
目標【その3】: ベクトルの内積を求める
解説【その3】: ベクトルの内積を求める
・動画1 「ベクトルの内積」の練習問題
・練習問題
・練習問題の解答
目標【その4】: ベクトルの大きさを求める
解説【その4】: ベクトルの大きさを求める(さらにコサイン類似度も計算する)
・動画2 コサイン類似度を求める例
次回は……

第10回 行列の基本と、回帰/ニューラルネットワークでの表現

目標【その1】: 行列とは
解説【その1】: 行列とは
・練習問題
目標【その2】: 行列の和と定数倍
解説【その2】: 行列の和と定数倍
目標【その3】: 行列とベクトルの積
解説【その3】: 行列とベクトルの積
・動画1 行列とベクトルの積
・行列の1行目をベクトルとみなし、内積を求める
・行列の2行目をベクトルとみなし、内積を求める
・練習問題
・動画2 「行列とベクトルの積」の練習問題
・練習問題の解答
目標【その4】: 行列同士の積
解説【その4】: 行列同士の積
・AとBの1列目の積を求める
・AとBの2列目の積を求める
次回は……

確率/統計

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