AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

羽山 博

機械学習の数学は難しい!? そう思っている人はこの連載から学んでみよう。サブタイトルは「― 中学/高校数学のキホンから学べる」。本連載では、小学校で習う「四則演算(足し算/引き算/掛け算/割り算)」を使って、機械学習の数学をできるだけ分かりやすく簡単に説明していく。

■ 中学/高校数学のおさらい 〜 微分/線形代数につながる基礎 ■

第1回 AI・機械学習のための数学超入門 ― 前提知識は四則演算だけ!(2020/03/02)

  • 機械学習は、人間の日常とそう変わらない
  • 機械学習で使われる数学は結局のところ四則演算だけ!
  • 四則演算のルールをざっとおさらい
    ・目標
    ・解説
     - ルール1 同じ数を何回か足す計算は、掛け算で表せる
     - ルール2 同じ数を何回か掛ける計算は、べき乗で表せる
     - ルール3 計算には優先順位があり、かっこで囲んだ計算が優先される
    ・コラム 計算の順序を工夫すると暗算が簡単になる
    ・練習問題
  • 距離を求める 〜 機械学習で使われる数学(1)
    ・直線上の距離を求める
    ・平面上の距離を求める
    ・コラム 距離にはいろいろある
    ・練習問題

第2回 文字式を使いこなせば一気にレベルアップ(2020/03/30)

  • 目標【その1】: 文字式に慣れる
    ・解説:数の代わりに文字を使う
  • 目標【その2】: 文字式の計算に便利な公式を利用する
    ・解説:文字式の計算
    ・練習問題
    ・解説:添字の利用
  • 各データとの距離の2乗の総和が最小になる値とは???
    ・問題:距離の二乗和の最小値を求める
    ・距離の二乗和を求める
    ・最小値を求めるために式を変形する(平方完成)
    ・平方完成した式のpについて解く(連立方程式)
    ・平方完成した式のqについて解く(連立方程式)
    ・ゴール:最小値を求める

第3回 総和を表すΣは機械学習に必須の記号(2020/04/16)

  • 目標【その1】: 総和を求める
    ・解説:Σの意味と書き方をマスターする
    ・練習問題
  • 目標【その2】: Σの公式を知る
    ・解説:いったん足し算に戻してみれば当たり前のこと!
  • 応用:Σを使って平均値を求める式を導き出す
  • 応用:重心を求める

番外編1 「0」の取り扱い(2020/08/03)

  • ポイント1 「0」で割ってはいけない
  • ポイント2 何かを0乗すると1になる
  • ポイント3 「0」の階乗は1

番外編2 指数と対数(指数編)(2021/05/13)

  • ポイント1 指数関数の基本公式
    ・掛け算と割り算の公式 ・何を0乗しても1になる
    ・マイナス乗の場合
    ・コラム n進数のしくみと指数
  • ポイント2 指数が分数の場合
    ・コラム Pythonで底が負の場合は√と1/2乗の結果が異なる
  • ポイント3 指数関数の値とグラフ
  • ポイント4 指数関数の微分法
    ・コラム 正規分布やシグモイド関数などで使われる自然対数の底e

番外編3 指数と対数(対数編)(2021/05/17)

  • ポイント1 対数の表し方
  • ポイント2 対数の性質や公式のまとめ
    ・コラム 対数と情報量の表し方
  • ポイント3 対数関数の値とグラフ
  • ポイント4 対数関数の微分

■ 微分/積分 ■

第4回 微分法の基本を身につけて「変化」を見極めよう(2020/05/14)

  • 目標【その1】: 平均変化率を理解する
    ・解説:平均変化率の意味と利用例を知る
    ・練習問題
  • 目標【その2】: 平均変化率を文字式で表してみる
    ・解説:平均変化率を文字式で表してみる
  • 目標【その3】: いよいよ微分のお話(導関数を理解する)
    ・解説:微分の考え方と書き方について
  • 目標【その4】: 微分の計算方法(導関数の求め方)
    ・解説:微分の計算方法(導関数の求め方)
    ・練習問題
    ・解説(続き):微分の定義と計算方法について

第5回 微分法を応用して、回帰分析の基本を理解する(2020/06/04)

  • 目標【その1】: 微分の公式を整理しておく
    ・解説:微分の公式を整理しておく
    ・練習問題
  • 目標【その2】: 回帰分析とは何かを知る
    ・解説:回帰分析とは何かを知る
  • 目標【その3】: 最小二乗法による回帰分析の超簡単な例
    ・解説:最小二乗法による回帰分析の超簡単な例(具体的な例)
    ・解説:最小二乗法による回帰分析の超簡単な例(一般的な例)

第6回 偏微分の基本(意味と計算方法)を理解する(2020/07/14)

  • 目標: 偏微分の意味と計算方法を理解する
    ・解説:偏微分の意味と計算方法を理解する
    ・練習問題

第7回 偏微分を応用して、重回帰分析の基本を理解する(2020/07/28)

  • 目標: 偏微分を利用して重回帰分析を行う
    ・解説:偏微分を利用して重回帰分析を行う
    ・残差二乗和を求める
    ・残差二乗和を偏微分する
    ・連立方程式を解く
  • まとめと補足
    ・残差二乗和の偏微分(一般的な場合)

第8回 合成関数の微分(連鎖律)とニューラルネットワーク初歩の初歩(2020/09/03)

  • 目標【その1】: 合成関数を理解する
  • 解説【その1】: 合成関数を理解する
    ・合成関数の例1
    ・合成関数の例2
    ・合成関数の例3
  • 簡単なニューラルネットワークの例
  • 目標【その2】: 合成関数の微分
  • 解説【その2】: 合成関数の微分(連鎖律)
    ・合成関数の微分の例1
    ・合成関数の微分の例2(偏微分の場合)

■ 線形代数 ■

第9回 ベクトルの基本と類似度の計算(2020/10/12)

  • 目標【その1】: ベクトルとは
  • 解説【その1】: ベクトルとは
  • 目標【その2】: ベクトルの定数倍と和の計算
  • 解説【その2】: ベクトルの定数倍と和・差の計算
  • 目標【その3】: ベクトルの内積を求める
  • 解説【その3】: ベクトルの内積を求める
    ・練習問題
  • 目標【その4】: ベクトルの大きさを求める
  • 解説【その4】: ベクトルの大きさを求める(さらにコサイン類似度も計算する)

第10回 行列の基本と、回帰/ニューラルネットワークでの表現(2020/11/19)

  • 目標【その1】: 行列とは
  • 解説【その1】: 行列とは
    ・練習問題
  • 目標【その2】: 行列の和と定数倍
  • 解説【その2】: 行列の和と定数倍
  • 目標【その3】: 行列とベクトルの積
  • 解説【その3】: 行列とベクトルの積
    ・行列の1行目をベクトルとみなし、内積を求める
    ・行列の2行目をベクトルとみなし、内積を求める
    ・練習問題
  • 目標【その4】: 行列同士の積
  • 解説【その4】: 行列同士の積
    ・AとBの1列目の積を求める
    ・AとBの2列目の積を求める

■ 確率/統計 ■

第11回 確率の基本から条件付き確率までをおさらいしよう(2020/12/24)

  • 目標【その1】: 確率の表し方
  • 解説【その1】: 確率の表し方
  • 目標【その2】: 和事象・積事象、排反事象
  • 解説【その2】: 和事象・積事象、排反事象
  • 目標【その3】: 独立と従属、条件付き確率
  • 解説【その3】: 独立と従属、条件付き確率
    ・コラム 条件付き独立とは

第12回 機械学習でよく使われる「ベイズの定理」を理解する(2021/01/07)

  • 目標【その4】: ベイズの定理
  • 解説【その4】: ベイズの定理
  • 目標【その5】: ベイズの定理の展開
  • 解説【その5】: ベイズの定理の展開
  • 目標と解説【その6】: ベイズ更新

第13回 確率分布の基本、ベルヌーイ分布、二項分布を理解する(2021/02/17)

  • 目標と解説【その1】: 分布と確率分布
  • 目標【その2】: ベルヌーイ分布とは
  • 解説【その2】: ベルヌーイ分布とは
  • 目標【その3】: 二項分布とは
  • 解説【その3】: 二項分布とは
    ・母数、確率質量関数、累積分布関数などについて
    ・コラム 尤度(ゆうど)について

第14回 正規分布とベータ分布、確率分布とベイズ統計の関係を理解する(2021/02/18)

  • 目標【その4】: 正規分布とは
  • 解説【その4】: 正規分布とは
    ・確率密度関数と累積分布関数
    ・コラム 中心極限定理
  • 目標と解説【その5】: ベータ分布とは
  • 目標と解説【その6】: ベイズ統計と事前分布、事後分布

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